L'essentiel du cours en mécanique des fluides / écoulement d'un fluide.

La masse volumique.

La masse volumique $$\rho$$ est la masse $$m$$, en $$\mathrm{kg}$$, par unité de volume $$V$$, en $$\mathrm{m^3}$$, l'expression correspondante est $$\red{\rho=\frac{m}{V}}$$. L'unité de $$\rho$$ est : $$\mathrm{kg.m^{-3}}$$.

La masse volumique de l'eau (à savoir).

La masse volumique de l'eau $$\rho_{eau}$$, dans les conditions thermodynamiques normales (20° et 101325 Pa) est sensiblement égale à 1000 $$\mathrm{kg.m^{-3}}$$ : $$\red{\rho_{eau}=1000\,\, \mathrm{kg.m^{-3}}}$$

La masse volumique de l'air (à savoir).

La masse volumique de l'air $$\rho_{air}$$, dans les conditions thermodynamiques normales (20° et 101325 Pa) est sensiblement égale à 1,2 $$\mathrm{kg.m^{-3}}$$ : $$\red{\rho_{air}=1,2\,\, \mathrm{kg.m^{-3}}}$$

La densité.

La densité $$d$$ d'un corps est le rapport entre la masse volumique du corps considéré et celle d'un corps de référence (en général l'eau pour les liquides et les solides et l'air pour les gaz). La densité n'a pas d'unité : $$\red{d_{corps}=\frac{\rho_{corps}}{\rho_{eau}}}$$. Si la densité d'un corps est supérieure à $$1$$, ce corps coule dans l'eau, si cette densité est inférieure à $$1$$, ce corps flotte sur l'eau.

La force pressante.

La force pressante $$\mathrm{F}$$, en $$\mathrm{N}$$, qui s'exerce sur une surface plane $$\mathrm{S}$$, en $$\mathrm{m^2}$$, où règne la pression $$\mathrm{P}$$, en $$\mathrm{Pa}$$, a pour expression $$\red{F=P\times S}$$.

Poussée d'Archimède.

Un corps immergé, qui déplace un volume $$V$$, en $$\mathrm{m^3}$$, de fluide de masse volumique $$\rho_f$$, en $$\mathrm{kg.m^{-3}}$$, dans le champ de pesanteur d'accélération $$\overrightarrow{g}$$, en $$m.s^{-2}$$, subit une force $$\overrightarrow{F_A}$$, en $$\mathrm{N}$$, verticale vers le haut : la "poussée d'Archimède", d'expression $$\red{\overrightarrow{F_A}=-\rho_f\times V\times \overrightarrow{g}}$$.

Régime permanent ou stationnaire.

Un écoulement est en $$\red{\text{régime permanent ou stationnaire}}$$, si la $$\red{\text{vitesse d'écoulement (le vecteur vitesse)}}$$ et $$\red{\text{la pression}}$$, en chaque point du fluide $$\red{\text{ne dépendent pas du temps}}$$, c'est à dire ne varient pas au cours du temps.

Débit volumique.

Le débit volumique, $$D_V$$, d'un fluide correspond au volume $$V$$, en $$\mathrm{m^3}$$, qui traverse la section droite d'une canalisation pendant une durée $$\Delta t$$, son expression est : $$\red{D_V=\frac{V}{\Delta t}}$$ et l'unité est $$\mathrm{m^3.s^{-1}}$$.

Débit volumique (en fonction de la vitesse et de la surface de section).

Le volume $$V$$, en $$\mathrm{m^3}$$, de fluide qui traverse une section de canalisation d'aire $$S$$, en $$\mathrm{m^{2}}$$, pendant une durée $$\Delta t$$, en $$\mathrm{s}$$, avec une vitesse d'écoulement $$v$$, en $$\mathrm{m.s^{-1}}$$, est contenu dans un cylindre de longueur $$L=v\times \Delta t$$ et de base $$S$$. Le débit volumique correspondant a pour expression : $$\red{D_V=v\times S}$$ et l'unité est $$\mathrm{m^3.s^{-1}}$$.

Débit massique.

Le débit massique, $$D_m$$, d'un fluide correspond à la masse $$m$$, en $$\mathrm{kg}$$, qui traverse la section droite d'une canalisation pendant une durée $$\Delta t$$, son expression est : $$\red{D_m=\frac{m}{\Delta t}}$$ et l'unité est $$\mathrm{kg.s^{-1}}$$.

Relation entre le débit massique et le débit volumique.

Comme $$m=\rho \times V$$, les débits volumiques et massiques sont reliés dans l'expression : $$\red{D_m=\rho \times D_V}$$

Concept de continuité.

Dans une canalisation, dans laquelle coule un fluide incompressible, le débit volumique est constant le long de la canalisation, malgré les changements éventuels de surface de section. Nous avons ainsi, pour deux points $$1$$ et $$2$$ éloignés le long de la canalisation, le même débit volumique : $$\red{D_{V_1}=D_{V_2}}$$ soit : $$\red{V_1\times S_1=V_2\times S_2}$$

Relation de Bernoulli.

La relation s'applique à :$$\red{\text{Un fluide incompressible, parfait (sans frottement), en écoulement permanent (ou régime permanent), de masse volumique}}$$ $$\red{\rho}$$ $$\red{\text{constante}}$$. Si l'on considère deux points $$1$$ et $$2$$ $$\red{\text{d'une même ligne de courant}}$$, la relation de Bernoulli est la suivante : $$\red{P_1+\rho g z_1+\frac{1}{2}\rho {V_1}^2=P_2+\rho g z_2+\frac{1}{2}\rho {V_2}^2}$$. Les pressions $$P$$ sont en $$\mathrm{Pa}$$, les masses volumiques $$\rho$$ sont en $$\mathrm{kg.m^{-3}}$$, les vitesses d'écoulement sont en en $$\mathrm{m.s^{-1}}$$

Formule de Toricelli.

Cette formule est utilisée pour déterminer la vitesse $$v$$ d'éjection d'un fluide, à travers une petite ouverture située au bas d'un récipient de hauteur $$h$$ par exemple, dans le champ de pesanteur terrestre d'intensité $$g$$. De multiples exercices en sont l'illustration. Cette formule est : $$\red{v=\sqrt{2gh}}$$

Effet Venturi.

En régime permanent, la pression $$P$$ d'un fluide diminue lorsque sa vitesse $$v$$ augmente.